computacion-de-sistemas - 2.1.-Variables Aleatorias
  PORTADA
  SIMULACION DE SISTEMAS (PORTADA)
  => INDICE
  => INTRODUCCION
  => Unidad I: Introduccion a la Simulacion
  => 1.1.-Definición e Importancia de la Simulación en la Ingeniería
  => 1.2.-Conceptos básicos de Modelación
  => 1.3.-Metodología de la Simulación
  => 1.4.-Sistemas Modelos y Control
  => 1.5.-Estructura y Etapas de un Estudio de Simulaciono de
  => 1.6.-Etapas de un Proyecto de Simulación
  => Unidad II: Variables Aleatorias
  => Clasificación de los Números
  => 2.1.-Variables Aleatorias
  => Relaciones y Funciones
  => MEDIA, VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR
  => FUNCIONES DISCRETAS
  => FUNCIONES CONTINUAS
  => UNIDAD III: MÉTODO DE MONTECARLO
  => GLOSARIO
  => CONCLUSION
  => BIBLIOGRAFIA
  => CUESTIONARIO
  COMENTARIOS

VARIABLES ALEATORIAS 


   Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores. Ejemplos:

-         nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…)

-         nº de llamadas que recibe un teléfono en una hora

-         tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado…

 

   Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas:

-         Discretas: el conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.

-         Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Son el resultado de medir.

Ejemplo: Ejercicio 15.2 de Peña y Romo

Clasificar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias:

a)   nº de páginas de un libro → discreta

b)   tiempo que tarda en fundirse una bombilla → continua

c)    nº de preguntas en una clase de una hora → discreta

d)   cantidad de agua consumida en un mes → continua

 

En la práctica se consideran discretas aquellas variables para las que merece la pena asignar probabilidades a todos los posibles sucesos elementales.

 

DISTRIBUCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA

    Sea x una variable aleatoria discreta. Su distribución viene dada por los valores que puede tomar, x1, x2, x3, …, xk, y las probabilidades de que aparezcan p1, p2, p3, …, pk. Estas cantidades Pi= P{x=xi} reciben el nombre de función de probabilidad o función de masa.

Ejemplo:

Variable aleatoria x=nº de caras al lanzar tres veces una

moneda

Posibles valores de x: 0, 1, 2 y 3

Lanzar 3 veces moneda:

E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}

La variable aleatoria x:

-         Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {XXX}

-         Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {XXC,XCX,CXX}

-         Toma valor 2 cuando {CCX,CXC,XCC}

-         Toma valor 3 cuando {CCC}

 

La función de probabilidad es:

 

Función de probabilidad de x:


 

¿Cuál será la probabilidad de que salgan al menos dos caras? 

¿y la probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 2? 

 

● La probabilidad de que una variable aleatoria x tome un valor entre dos cantidades a y b será: 


● La función de probabilidad verifica que:     



● La función de distribución o de probabilidad acumulada representa en cada punto x0 la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que dicho punto, es decir, 
  .

   Ejemplo: nº caras al lanzar tres veces una moneda 

Función de distribución de x

   Sea x una variable aleatoria continua. Si queremos conocer su distribución de probabilidad no nos vale la función de probabilidad empleada con las discretas (cada valor con su probabilidad asociada) porque toma muchos valores. La probabilidad asociada a cada valor es prácticamente nula (la función de distribución es continua).

   Emplearemos la función de densidad. Se interpreta de forma parecida al histograma. Expresa la “densidad” o concentración de probabilidad en cada zona. Expresa las probabilidades por áreas. Sus valores más altos corresponden a zonas en las que es más probable que aparezcan resultados del experimento aleatorio.     

 Ver Figuras 15.5 y 15.6 de Peña y Romo

 Media o esperanza de una variable aleatoria

  La media o esperanza de una variable aleatoria discreta será:


Ejemplo: Ejercicio 15.5 de Peña y Romo

x=resultado de lanzar un dado

La distribución de probabilidad de x será:

El valor esperado de x será:


 


  La idea de media o esperanza de una variable aleatoria continua es equivalente pero su cálculo es algo más complicado porque requiere emplear el concepto de integral.

 

  La media de una variable aleatoria puede interpretarse como el valor esperado o medio que toma dicha variable o como el valor central de dicha distribución.

 

  Propiedades:

 

-         si x e y son dos variables aleatorias se cumple que:

 -         si a y b son constantes se cumple que:

Ejercicio 15.3 (de Peña y Romo)

Una compañía ha vendido 205 billetes para un avión de 200 plazas.

Sea x la variable aleatoria que expresa el nº de viajeros que va al aeropuerto para viajar en el avión. Su distribución es:

xi

198

199

200

201

202

203

204

205

pi

0,05

0,09

0,15

0,20

0,23

0,17

0,09

0,02

 

a)   Hallar la probabilidad de que todos los viajeros que van al aeropuerto tengan plaza.


 b)   Obtener la probabilidad de que se quede sin plaza alguno de los viajeros que va al aeropuerto.


 

c)    Calcular el nº esperado de viajeros que acude al aeropuerto.


d)   ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona de la lista de espera tenga sitio en el vuelo?


 Desviación típica de una variable aleatoria


  La desviación típica de una variable aleatoria es una medida de dispersión de la distribución alrededor de la media. Los valores pequeños indican concentración de la distribución alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a distribuciones más dispersas.

   El concepto de desviación típica es equivalente en variables aleatorias discretas y continuas, aunque en estas últimas su cálculo es más complicado.

 

  Si x es una variable aleatoria discreta su desviación típica viene dada por:


y su varianza será:                   

   Propiedades:

-         si a y b son constantes se cumple que:


-         si x e y son dos variables aleatorias independientes se cumple que:


         

 Ejercicio 15.7 (de Peña y Romo)

Sea x una variable aleatoria que expresa el nº de personas que habitan en una vivienda elegida al azar. La distribución de probabilidad de x es la siguiente:

xi

1

2

3

4

5

6

7

8 ó +

pi

0,230

0,322

0,177

0,155

0,067

0,024

0,015

0,010

 

a)   Comprobar que es una distribución de probabilidad.

Todas las pi son mayores o iguales que cero y además se cumple que:


 b)   Hallar la probabilidad de que el nº de personas que viven en un hogar sea menor o igual que cuatro.

c)    Calcular la probabilidad de que al menos dos personas vivan en una vivienda.

d)   Obtener el nº medio de personas que habitan en una vivienda.


 

 

 

 
Hoy habia 17 visitantes (19 clics a subpáginas) ¡Aqui en esta página!
Este sitio web fue creado de forma gratuita con PaginaWebGratis.es. ¿Quieres también tu sitio web propio?
Registrarse gratis