FUNCIONES CONTINUAS

      Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polígonos de frecuencias. En el caso de una variable estadística continua consideramos el histograma de frecuencias relativas, y se comprueba que al aumentar el número de datos y el número de clases el histograma tiende a estabilizarse llegando a convertirse su perfil en la gráfica de una función.

Sus graficas son:

• Normal
• Uniforme
• Exponencial
• Weibull
• Triangular

DISTRIBUCION NORMAL:

La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. Esto se debe a dos razones fundamentalmente:

• Su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas.

• Es, además, límite de otras distribuciones y aparece relacionada con multitud de resultados ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades matemáticas.

La función de densidad está dada por:

Donde μ (M) es la media y σ (sigma) es la desviación estándar (σ² es la varianza).

 

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

 

La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.

Aplicando la formula anterior a una serie de valores, obtenemos la siguiente grafica de distribucion continua normal:

 

DISTRIBUCION CONTINUA UNIFORME 

En estadistica la distribución uniforme es una distribución de probabilidad cuyos valores tienen la misma probabilidad.

Distribución uniforme (caso continuo).

Se dice que una variable aleatoria X continua tiene una distribución uniforme en el intervalo [a,b] si la función de densidad de probabilidad (FDP) es

La función de distribucion en el caso continuo entre a y b es

Su media estadistica es (a + b) / 2 y su varianza (b − a)² / 12.

Aplicando la formula anterior a una serie de valores aleatorios, se produce la siguiente grafica:

 

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

En estadística la distribución exponencial es una distribución de probabildad continua con un parámetro λ > 0.

Su Funcion de distribución es:

El valor esperado ya la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son: 

 

GRAFICA DE DISTRIBUCION WEIBULL

La distribución de Weibull complementa a la distribución exponencial y a la normal, se usa cuando se sabe de antemano que una de ellas es la que mejor describe la distribución de fallos o cuando se han producido muchos fallos (al menos 10) y los tiempos correspondientes no se ajustan a una distribución más simple. La distribución de Weibull nos permite estudiar cuál es la distribución de fallos de un componente clave de seguridad que pretendemos controlar y que a través de nuestro registro de fallos observamos que éstos varían a lo largo del tiempo y dentro de lo que se considera tiempo normal de uso.La distribución de Weibull se representa normalmente por la función acumulativa de distribución de fallos F(t):

 

Siendo la función densidad de probabilidad: 



Las ecuaciones (1), (2) y (3) sólo se aplican para valores de (t - t₀) ≥ 0. Para valores de (t - t₀) < 0, las funciones de densidad y la tasa de fallos valen 0. Las constantes que aparecen en las expresiones anteriores tienen una interpretación física:

·         t₀ es el parámetro de posición (unidad de tiempos) 0 vida mínima y define el punto de partida u origen de la distribución.

·         η es el parámetro de escala, extensión de la distribución a lo largo, del eje de los tiempos. Cuando (t - t₀) = η la fiabilidad viene dada por:
R (t) = exp - (1)^ß = 1/exp 1^ß = 1 / 2,718 = 0,368 (36,8%)
Entonces la constante representa también el tiempo, medido a partir de t₀ = 0, según lo cual dado que F (t) = 1 - 0,368 = 0,632, el 63,2 % de la población se espera que falle, cualquiera que sea el valor de ß ya que como hemos visto su valor no influye en los cálculos realizados. Por esta razón también se le llama usualmente vida característica.

·         ß es el parámetro de forma y representa la pendiente de la recta describiendo el grado de variación de la tasa de fallos.

Aplicando la formula anterior a una serie de valores aleatorios, obtenemos la siguiente grafica de distribucion Weibull:

DISTRIBUCION TRIANGULAR

Esta distribución tiene 3 parámetros, a (límite inferior de la variable); b (el modo) y c (límite superior de la variable).

Se denomina así por el hecho de que la función de densidad tiene una forma triangular, que viene definida en la tabla de anterior

Se denomina triangular cuando viene definida por dos parámetros, que representan el valor mínimo y el valor máximo de la variable. En este caso el triángulo es equilátero. Se denomina triangular (triangular general), cuando viene dada por tres parámetros, que representan el valor mínimo y el valor máximo de la variable, y el valor del punto en el que el triángulo toma su altura máxima. En este caso el triángulo no es necesariamente equilátero.

Usando la formula anterior con una serie de valores aleatorios nos genera la siguiente grafica: